Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/hat unendlich viele Elemente/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt können wir annehmen, dass ${}F$ die Gestalt hat

${}F=X^{d}+P_{d-1}(Y)X^{d-1}+\cdots +P_{1}(Y)X+P_{0}(Y)\,$

mit Polynomen ${}P_{i}(Y)\in K[Y]$. Zu jedem beliebig vorgegebenen Wert ${}a\in K$ für ${}Y$ ergibt sich also ein normiertes Polynom in ${}X$ vom Grad ${}d$. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, gibt es jeweils (mindestens) eine Nullstelle in ${}X$. D.h. zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein ${}b\in K$ derart, dass ${}(a,b)$ eine Nullstelle von ${}F$ ist, also zur Kurve gehört. Da ${}K$ unendlich ist, gibt es also unendlich viele Punkte auf der Kurve.

Zur bewiesenen Aussage