Ebene affine Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Voraussetzungen ändern sich nicht, wenn wir zu einer Körpererweiterung übergehen, wir können also direkt einen Punkt ${}(x,y)\in V(Y^{d}-G)\subseteq K^{2}$ betrachten und müssen zeigen, dass er glatt ist. Nehmen wir also an, dass er nicht glatt ist. Die partiellen Ableitungen sind ${}G'$ und ${}dY^{d-1}$. Wegen ${}d\neq 0$ in ${}K$ folgt (bei ${}d\geq 2$, bei ${}d=1$ ist diese partielle Ableitung konstant ${}\neq 0$) ${}y=0$. Aus der Kurvengleichung folgt ${}G(x)=0$ und aus der ersten partiellen Ableitung folgt ${}G'(x)=0$. Doch dann ist ${}x$ eine mehrfache Nullstelle von ${}G$, was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.

Zur bewiesenen Aussage