Ebene affine Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Voraussetzungen ändern sich nicht, wenn wir zu einer Körpererweiterung übergehen, wir können also direkt einen Punkt betrachten und müssen zeigen, dass er glatt ist. Nehmen wir also an, dass er nicht glatt ist. Die partiellen Ableitungen sind und . Wegen in folgt (bei , bei ist diese partielle Ableitung konstant ) . Aus der Kurvengleichung folgt und aus der ersten partiellen Ableitung folgt . Doch dann ist eine mehrfache Nullstelle von , was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.