Ebene affine Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Voraussetzungen ändern sich nicht, wenn wir zu einer Körpererweiterung übergehen, wir können also direkt einen Punkt  $(x,y)\in V(Y^d-G)\subseteq K^2$  betrachten und müssen zeigen, dass er glatt ist. Nehmen wir also an, dass er nicht glatt ist. Die partiellen Ableitungen sind $G^{\prime }$ und $d{Y}^{d-1}$. Wegen  $d\ne 0$  in $K$ folgt (bei $d\ge 2$, bei $d=1$ ist diese partielle Ableitung konstant $\ne 0$)  $y=0$.  Aus der Kurvengleichung folgt  $G(x)=0$  und aus der ersten partiellen Ableitung folgt  $G^{\prime }(x)=0$.  Doch dann ist $x$ eine mehrfache Nullstelle von $G$, was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.

Zur bewiesenen Aussage