Ebene affine Kurve/xy^3+y+x^3/Glatt/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=y^{3}+3x^{2}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=3xy^{2}+1\,.$

1. Im gegebenen Punkt ${}(4,2)$ ist

   ${}f(4,2)=4\cdot 2^{3}+2+4^{3}=32+2+64=98=0\,,$

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}(4,2)=8+3\cdot 16=56=0\,$

   und

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}(4,2)=3\cdot 4\cdot 4+1=49=0\,,$

   also liegt ein singulärer Punkt vor.

2. Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und ${}f$ über einem beliebigen Körper der Charakteristik ${}\neq 7$ keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus

   ${}y^{3}=-3x^{2}\,$

   und der Kurvengleichung folgt

   ${}x(-3x^{2})+y+x^{3}=y-2x^{3}=0\,,$

   also

   ${}y=2x^{3}\,.$

   Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt

   ${}y^{3}+3x^{2}=8x^{9}+3x^{2}={\left(8x^{7}+3\right)}x^{2}=0\,$

   Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt

   ${}3xy^{2}=3x{\left(2x^{3}\right)}^{2}=12x^{7}=-1\,.$

   Daraus folgt einerseits ${}x\neq 0$ und andererseits, dass wir Charakteristik ${}\neq 2,3$ annehmen können. Dann ist

   ${}x^{7}=-{\frac {3}{8}}\,$

   und

   ${}x^{7}=-{\frac {1}{12}}\,,$

   also

   ${}{\frac {3}{8}}={\frac {1}{12}}\,$

   bzw.

   ${}9=2\,,$

   was bei Charakteristik ${}\neq 7$ ausgeschlossen ist.

Zur gelösten Aufgabe