Ebene affine Kurve/xy^3+y+x^3/Glatt/Aufgabe

Wir betrachten die durch die Gleichung

${}f=xy^{3}+y+x^{3}=0\,$

gegebene Kurve in ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ über einem Körper ${}K$.

1. Zeige, dass bei ${}\operatorname {char} (K)=7$ der Punkt ${}(4,2)$ ein singulärer Punkt der Kurve ist.
2. Zeige, dass die Kurve bei ${}\operatorname {char} (K)\neq 7$ glatt ist.

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