Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt/Beweis

Beweis

Da $P$ ein glatter Punkt der Kurve ist, können wir ohne Einschränkung  $\frac{\partial F}{\partial X}(P)\ne 0$  annehmen.

Nach der Produktregel gilt

$\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial X}(P)& =\frac{\partial F_1\cdots F_n}{\partial X}(P)\\ & =\sum _{k=1}^n{F}_1(P)\cdots F_{k-1}(P)\cdot \frac{\partial F_k}{\partial X}(P)\cdot F_{k+1}(P)\cdots F_n(P).\end{array}$

Angenommen, es wäre nun  $P\in C_i\cap C_j$  für  $i\ne j$,  d. h.  $F_i(P)=F_j(P)=0$.  Dann hätte jedes Produkt der obigen Summe einen Nullfaktor, also wäre auch  $\frac{\partial F}{\partial X}(P)=0$,  was ein Widerspruch dazu ist, dass $P$ glatt ist.

Zur bewiesenen Aussage