Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Bemerkung

Fakt besagt insbesondere, dass die Multiplizität eines Punktes auf einer ebenen Kurve eine Invariante des lokalen Ringes der Kurve in dem Punkt ist, und damit insbesondere nur von intrinsischen Eigenschaften der Kurve abhängt, nicht von der Realisierung in einer umgebenden Ebene. Es gibt für jeden noetherschen lokalen Ring die sogenannte Hilbert-Samuel-Multiplizität, die über die ${}R/{\mathfrak {m}}$-Dimensionen der Restklassenmoduln ${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ definiert wird. Im eindimensionalen Fall ist sie definiert als

$\operatorname {lim} _{n\to \infty }\,{\left(\operatorname {dim} _{R/{\mathfrak {m}}}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})\right)},$

wobei diese Funktion konstant wird (was nicht trivial ist). Wenn ${}R$ einen Körper ${}K$ enthält, der isomorph zum Restekörper ist (was bei lokalen Ringen zu einer Kurve der Fall ist), so ist diese Zahl auch gleich

$\operatorname {lim} _{n\to \infty }\,{\frac {\operatorname {dim} _{K}(R/{\mathfrak {m}}^{n})}{n}}.$