Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt

Es sei  $P\in V=V(F)\subset {𝔸}_K^2$  ein Punkt auf einer ebenen affinen Kurve. Es sei  $R={𝒪}_{V,P}$  der zugehörige lokale Ring mit maximalem Ideal $𝔪$.

Dann gilt für die Multiplizität $m_P$ von $P$ die Gleichung

$m_P={\dim }_K({𝔪}^n/{𝔪}^{n+1})\text{ für }n\text{ hinreichend groß}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen