Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^3+y^2-xy+x/Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir setzen an $X = F (Y) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} Y^{i}$ , und bestimmen die Koeffizienten $a_{0}, \dots, a_{6}$ aufgrund der Bedingung

{(\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} Y^{i})}^{3} + Y^{2} - (\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} Y^{i}) Y + (\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} Y^{i}) = 0 .

Da die Potenzreihe die Kurve im Nullpunkt approximieren soll, muss $a_{0} = 0$ sein. Für $Y^{1}$ ergibt sich die Koeffizientenbedingung

a_{1} = 0,

da die ersten drei Summanden keinen Beitrag leisten. Für $Y^{2}$ ergibt sich

1 + a_{2} = 0, also a_{2} = - 1.

Damit ist der zweite Summand $Y^{2}$ abgearbeitet. Für $Y^{3}$ ergibt sich

- a_{2} + a_{3} = 0, also a_{3} = a_{2} = - 1.

Für $Y^{4}$ ergibt sich

- a_{3} + a_{4} = 0, also a_{4} = a_{3} = - 1

und für $Y^{5}$ ergibt sich

- a_{4} + a_{5} = 0, also a_{5} = a_{4} = - 1.

Bei $Y^{6}$ muss erstmals auch der erste Summand berücksichtigt werden, und zwar ergibt sich

a_{2}^{3} - a_{5} + a_{6} = 0, also a_{6} = a_{5} - a_{2}^{3} = - 1 - (- 1)^{3} = 0.