Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt/Name/Inhalt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve  ${}C=V(F)$.  Es sei  ${}P=(a,b)\in C$  ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$  und mit lokalem Ring  ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
2. Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
3. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
4. ${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.