Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve  ${}C=V(F)$.  Es sei  ${}P=(a,b)\in C$  ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal  ${}{\mathfrak {m}}=(X-a,Y-b)$  und mit lokalem Ring  ${}R=(K[X,Y]_{\mathfrak {m}})/(F)$. 

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}P$ ist ein glatter Punkt der Kurve.
2. Die Multiplizität von ${}P$ ist eins.
3. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
4. ${}R$ ist ein normaler Integritätsbereich.

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