Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt

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Sei ein Körper und sei nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve . Es sei ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal und mit lokalem Ring .

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein glatter Punkt der Kurve.
  2. Die Multiplizität von ist eins.
  3. ist ein diskreter Bewertungsring.
  4. ist ein normaler Integritätsbereich.
Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen