Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt

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Es sei ein Körper und sei nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve . Es sei ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal und mit lokalem Ring .

Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein glatter Punkt der Kurve.
  2. Die Multiplizität von ist eins.
  3. ist ein diskreter Bewertungsring.
  4. ist ein normaler Integritätsbereich.