Ebene algebraische Kurve/Tschirnhausen-Kubik/Singulärer Ort/Beispiel

Wir betrachten die durch das Polynom ${}V{\left(Y^{2}-X^{3}-3X^{2}\right)}$ gegebene Tschirnhausen Kubik über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 2,3$. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=-3X^{2}-6X{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2Y.$

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) ${}=0$ setzt, so folgt ${}Y=0$ und somit auch

${}X^{2}(X+3)=0=X(X+2)\,.$

Somit ist der Nullpunkt ${}(0,0)$ der einzige singuläre Punkt der Kurve, die ansonsten glatt ist.