Ebene algebraische Kurve/x^3+xy^2/C/Singularitäten/Aufgabe/Lösung

Offenbar ist durch ${}X(X+{\mathrm {i} }Y)(X-{\mathrm {i} }Y)$ eine Zerlegung des Polynoms in Primfaktoren gegeben. Um singuläre Punkte zu bestimmen, untersuchen wir die partiellen Ableitungen.

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}+Y^{2}{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=2XY.$

Man sieht unmittelbar, dass diese beiden Gleichungen genau dann erfüllt sind, wenn ${}(x,y)=(0,0)$. Da dieser Punkt auch der Kurvengleichung genügt, ist dies ein (der) singuläre Punkt der Kurve. Das Polynom, welches die Kurve beschreibt, ist schon homogen vom Grad ${}3$, also ist die Multiplizität ${}3$. Die Tangenten sind also durch ${}V(X),V(X+{\mathrm {i} }Y)$ und ${}V(X-{\mathrm {i} }Y)$ gegeben.

Zur gelösten Aufgabe