Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Beispiel

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Kartesisches-Blatt.svg


Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung beschrieben (die ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl ersetzt werden). Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind und . Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die Multiplizität zwei und ist singulär, und sowohl die - als auch die -Achse sind Tangenten (mit einfacher Multiplizität). An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt (der Grundkörper habe nicht die Charakteristik ): aus

folgt und , also auch (ebenso für ). Dann ist oder und sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber den Wert , diese sind also keine Punkte der Kurve.