Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Beispiel

Rene Descartes (1596-1650)

Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung ${}F=X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ beschrieben (die ${}3$ ist dabei nicht wichtig, und könnte durch eine andere Zahl ${}\neq 0$ ersetzt werden). Die homogenen Bestandteile der Kurvengleichung sind ${}F_{3}=X^{3}+Y^{3}$ und ${}F_{2}=-3XY$. Damit hat der Nullpunkt des Kartesischen Blattes die Multiplizität zwei und ist singulär, und sowohl die ${}X$- als auch die ${}Y$-Achse sind Tangenten (mit einfacher Multiplizität). An den übrigen Punkten ist die Kurve glatt (der Grundkörper habe nicht die Charakteristik ${}3$): aus

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}-3Y=0{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3Y^{2}-3X=0$

folgt $Y=X^{2}$ und $X=Y^{2}$, also auch ${}Y=Y^{4}$ (ebenso für ${}X$). Dann ist ${}Y=X=0$ oder ${}X$ und ${}Y$ sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide ${}1$ oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber ${}F$ den Wert ${}-1$, diese sind also keine Punkte der Kurve.