Ebene algebraische Kurve/Multiplizität/Kleinste homogene Komponente/Definition

Multiplizität (ebene Kurve)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  $F\in K[X,Y]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei  $P\in C=V(F)\subset {𝔸}_K^2$  ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

$F=F_d+F_{d-1}+\cdots +F_m$

die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_d\ne 0$ und $F_m\ne 0$, $d\ge m$. Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$.