Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Singulärer Ort/Beispiel

Rene Descartes (1596-1650)

Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung ${}F=X^{3}+Y^{3}-3XY=0$ beschrieben, der Grundkörper habe nicht die Charakteristik. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=3X^{2}-3Y{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3Y^{2}-3X.$

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) ${}=0$ setzt, so folgt $Y=X^{2}$ und $X=Y^{2}$, also auch ${}Y=Y^{4}$ (ebenso für ${}X$). Dann ist ${}Y=X=0$, und somit liegt im Nullpunkt eine Singularität vor, oder ${}X$ und ${}Y$ sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide ${}1$ oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber ${}F$ den Wert ${}-1$, diese sind also keine Punkte der Kurve. Der Nullpunkt ist also der einzige nichtglatte Punkt der Kurve.