Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Singulärer Ort/Beispiel

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Kartesisches-Blatt.svg


Das Kartesische Blatt wird durch die Gleichung beschrieben, der Grundkörper habe nicht die Charakteristik. Die partiellen Ableitungen sind

Wenn man diese (zusammen mit der Kurvengleichung selbst) setzt, so folgt und , also auch (ebenso für ). Dann ist , und somit liegt im Nullpunkt eine Singularität vor, oder und sind beide eine dritte Einheitswurzel (und zwar sind beide oder es sind die beiden anderen dritten Einheitswurzeln). An diesen anderen Verschwindungsstellen der beiden partiellen Ableitungen hat aber den Wert , diese sind also keine Punkte der Kurve. Der Nullpunkt ist also der einzige nichtglatte Punkt der Kurve.