Es ist
äquivalent zu
. Über
ist also
,
eine affin-lineare Transformation.
Für den Fall
setzen wir
und
mit Koeffizienten
an. Es ergibt sich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\tilde {X}}^{2}+{\tilde {Y}}^{2}&=(aX+bY+c)^{2}+(dX+eY+f)^{2}\\&=\left(a^{2}+d^{2}\right)X^{2}+\left(b^{2}+e^{2}\right)Y^{2}+2(ab+de)XY+H(X,Y)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f958facef21dfdac9634c53abaa1c851c1da69)
mit
mit
. Es muss also die Gleichheit
gelten. Durch multiplizieren mit dem Hauptnenner können wir die Gleichung auf die Form
-
bringen, wobei
![{\displaystyle {}r,s,t\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1b94e31895a289fba2f83ae00a677067f3a5c8)
. Wir wollen zeigen, dass diese Gleichung keine ganzzahlige Lösung besitzt. Da die linke Seite der Gleichung ein Vielfaches von
![{\displaystyle {}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7a2174affb51082c20e490892fef6992740387)
ist, folgt
![{\displaystyle {}3{|}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94fc8d93ccc71189d1e24c6379b84c994a089de)
, also
![{\displaystyle {}9{|}t^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d9670e354d3d0f2b8bdff458fc680989e59a06)
, woraus
![{\displaystyle {}3{|}(r^{2}+s^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a0acf3287ed2395a939a0144c4ef7f7ab9cbc6)
folgt. In
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2fcbf266722f05c82d76eb58b3d91093f7d0536)
ist
![{\displaystyle {}r^{2}+s^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81c1763c60d1333d7bf6f79198a08e3e1edc957)
genau dann, wenn
![{\displaystyle {}r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d3edafab5978c76e77b18301413c32f0805ba0)
und
![{\displaystyle {}s=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c43c344cd68136c9b3114b9f98da90020398116)
. Daraus folgt
![{\displaystyle {}9{|}(r^{2}+s^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30fca44c61f4764749c82fe266c6cee8ca26a10c)
und wir können beide Seiten der Gleichung durch
![{\displaystyle {}9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0442bf9c65a835bfb03894f52cebeba8e9f68660)
teilen. Wir setzen nun
![{\displaystyle {}r'={\frac {r}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aad23ed6fb5c91f1fadbe504878dcee11a1203)
,
![{\displaystyle {}s'={\frac {s}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcd627045f6c8854e171cac09744a43ecde3863)
und
![{\displaystyle {}t'={\frac {t}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2e27e776b8790da6ed32f1325e26c5d7f6c39b)
. Absteigende Induktion führt zum Ziel.