Ebene algebraische Kurven/Linear äquivalent/Einheitskreis und 4x^2+3y^2 ist 9/Q und R/Aufgabe/Lösung

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Es ist äquivalent zu . Über ist also , eine affin-lineare Transformation.

Für den Fall setzen wir und mit Koeffizienten an. Es ergibt sich

mit mit . Es muss also die Gleichheit gelten. Durch multiplizieren mit dem Hauptnenner können wir die Gleichung auf die Form

bringen, wobei . Wir wollen zeigen, dass diese Gleichung keine ganzzahlige Lösung besitzt. Da die linke Seite der Gleichung ein Vielfaches von ist, folgt , also , woraus folgt. In ist genau dann, wenn und . Daraus folgt und wir können beide Seiten der Gleichung durch teilen. Wir setzen nun , und . Absteigende Induktion führt zum Ziel.