Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir setzen

in ein. In einem homogenen Bestandteil , der ja eine Summe von Ausdrücken der Form mit ist, kann man sofort ausklammern, und zwar ergibt sich ein Ausdruck der Form

In den Koeffizient von gehen also in einer übersichtlichen Form über ein, aber auch kompliziertere Terme, die von , herrühren. Auf angewandt, wo ja keine kleineren homogenen Komponenten mitberücksichtigt werden müssen, heißt dies, dass

die entscheidende Gleichung für und ist. Dies ist aber nichts anderes als die Bedingung

Da ein Produkt von Linearfaktoren ist, muss einen der Linearfaktoren annullieren, was die behauptete Aussage ist.

Zur bewiesenen Aussage