Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

$G=a_{1}T+a_{2}T^{2}+\ldots \,\,{\text{ und }}\,\,H=b_{1}T+b_{2}T^{2}+\ldots$

in ${}F$ ein. In einem homogenen Bestandteil ${}F_{k}$, der ja eine Summe von Ausdrücken der Form $c_{ij}X^{i}Y^{j}$ mit $i+j=k$ ist, kann man sofort ${}T^{k}$ ausklammern, und zwar ergibt sich ein Ausdruck der Form

$F_{k}(G,H)={\left(\sum _{i+j=k}c_{ij}a_{1}^{i}b_{1}^{j}\right)}T^{k}+{\left(\sum _{i+j=k}c_{ij}{\left(ia_{1}^{i-1}a_{2}b_{1}^{j}+ja_{1}^{i}b_{1}^{j-1}b_{2}\right)}\right)}T^{k+1}+\ldots \,.$

In den Koeffizient von ${}T^{k}$ gehen also ${}a_{1},b_{1}$ in einer übersichtlichen Form über ${}F_{k}$ ein, aber auch kompliziertere Terme, die von $F_{\ell },\,\ell <k$, herrühren. Auf ${}F_{m}$ angewandt, wo ja keine kleineren homogenen Komponenten mitberücksichtigt werden müssen, heißt dies, dass

${}\sum _{i+j=m}c_{ij}a_{1}^{i}b_{1}^{j}=0\,$

die entscheidende Gleichung für ${}a_{1}$ und ${}b_{1}$ ist. Dies ist aber nichts anderes als die Bedingung

${}F_{m}(a_{1},b_{1})=0\,.$

Da ${}F_{m}$ ein Produkt von Linearfaktoren ist, muss ${}\left(a_{1},\,b_{1}\right)$ einen der Linearfaktoren annullieren, was die behauptete Aussage ist.

Zur bewiesenen Aussage