Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen

$G=a_{1}T+a_2{T}^2+\dots \text{ und }H=b_{1}T+b_2{T}^2+\dots$

in $F$ ein. In einem homogenen Bestandteil $F_k$, der ja eine Summe von Ausdrücken der Form $c_{ij}{X}^i{Y}^j$ mit $i+j=k$ ist, kann man sofort $T^k$ ausklammern, und zwar ergibt sich ein Ausdruck der Form

$F_k(G,H)=\left(\sum _{i+j=k}{c}_{ij}{a}_1^i{b}_1^j\right)T^k+\left(\sum _{i+j=k}{c}_{ij}(i{a}_1^{i-1}{a}_2{b}_1^j+j{a}_1^i{b}_1^{j-1}{b}_2)\right)T^{k+1}+\dots .$

In den Koeffizient von $T^k$ gehen also $a_1,b_1$ in einer übersichtlichen Form über $F_k$ ein, aber auch kompliziertere Terme, die von $F_{\ell },\ell <k$, herrühren. Auf $F_m$ angewandt, wo ja keine kleineren homogenen Komponenten mitberücksichtigt werden müssen, heißt dies, dass

$\sum _{i+j=m}{c}_{ij}{a}_1^i{b}_1^j=0$

die entscheidende Gleichung für $a_1$ und $b_1$ ist. Dies ist aber nichts anderes als die Bedingung

$F_m(a_1,b_1)=0.$

Da $F_m$ ein Produkt von Linearfaktoren ist, muss $(a_1,b_1)$ einen der Linearfaktoren annullieren, was die behauptete Aussage ist.

Zur bewiesenen Aussage