Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein Polynom mit homogener Zerlegung  ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}$  mit  ${}d\geq m\geq 1$  und  ${}F_{m}\neq 0$.  Es sei

${}F_{m}=\prod _{\lambda =1}^{m}(u_{\lambda }X+v_{\lambda }Y)\,$

die Faktorzerlegung in Linearfaktoren (diese Linearfaktoren definieren also die Tangenten von ${}C=V(F)$ an ${}P=(0,0)$). Es seien

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}{\text{ und }}H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

Potenzreihen, die eine Lösung der Kurvengleichung  ${}F=0$  durch den Nullpunkt beschreiben (d.h. ${}a_{0}=b_{0}=0$).

Dann ist  ${}u_{\lambda }a_{1}+v_{\lambda }b_{1}=0$  für ein ${}\lambda$, d.h. der lineare Term der Potenzreihen ist durch eine der Tangenten vorgegeben.

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