Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt/Beweis

Beweis

Eine ebene algebraische Kurve  ${}C=V(F)$  ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms ${}F$ in zwei Variablen. Die Gerade ${}L$ sei durch die Gleichung  ${}aX+bY+c=0$  gegeben. Ohne Einschränkung sei  ${}a\neq 0$,  dann kann man nach ${}X$ auflösen und erhält die Geradengleichung  ${}X=\alpha Y+\beta$.  Ein Schnittpunkt  ${}P\in C\cap L$  muss sowohl  ${}F(P)=0$  als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man ${}X$ in ${}F$ durch ${}\alpha Y+\beta$ ersetzen. Dadurch wird ${}F$ zu einem Polynom in der einen Variablen ${}Y$, das wir ${}{\tilde {F}}$ nennen. Dann ist  ${}P\in C\cap L$  äquivalent dazu, dass  ${}P\in L$  und  ${}{\tilde {F}}(P)=0$  ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom ${}{\tilde {F}}$ beschrieben. Bei  ${}{\tilde {F}}=0$  ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei  ${}{\tilde {F}}\neq 0$  gibt es nach Fakt nur endlich viele Nullstellen.

Zur bewiesenen Aussage