Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt/Beweis

Beweis

Eine ebene algebraische Kurve ${}C=V(F)$ ist nach Definition immer die Nullstelle eines Polynoms ${}F$ in zwei Variablen. Die Gerade ${}L$ sei durch die Gleichung ${}aX+bY+c=0$ gegeben. Ohne Einschränkung sei ${}a\neq 0$, dann kann man nach ${}X$ auflösen und erhält die Geradengleichung ${}X=\alpha Y+\beta$. Ein Schnittpunkt ${}P\in C\cap L$ muss sowohl ${}F(P)=0$ als auch die Geradengleichung erfüllen. Mit der Geradengleichung kann man ${}X$ in ${}F$ durch ${}\alpha Y+\beta$ ersetzen. Dadurch wird ${}F$ zu einem Polynom in der einen Variablen ${}Y$, das wir ${}{\tilde {F}}$ nennen. Dann ist ${}P\in C\cap L$ äquivalent dazu, dass ${}P\in L$ und ${}{\tilde {F}}(P)=0$ ist. D.h. die Schnittmenge wird durch das Polynom ${}{\tilde {F}}$ beschrieben. Bei ${}{\tilde {F}}=0$ ist die ganze Gerade der Schnitt. Bei ${}{\tilde {F}}\neq 0$ gibt es nach Fakt nur endlich viele Nullstellen.

Zur bewiesenen Aussage