Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Schnitt mit Gerade/Beispiel

Sei ${}C=V(F)$ und eine Gerade ${}G=V(cX+dY)$ in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente von ${}C$ sei. Es sei ${}P=(a,b)\in C\cap G$ ein Punkt des Durchschnitts. Den Restklassenring

$K[X,Y]_{P}/(F,cX+dY)$

berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen ${}X$ oder ${}Y$ auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu ${}K[X]_{P}/({\tilde {F}})$, wobei man ${}{\tilde {F}}$ erhält, indem man in ${}F$ die Variable ${}Y$ durch ${}-{\frac {c}{d}}X$ ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst ${}K[X]/({\tilde {F}})$ berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom ${}{\tilde {F}}$ hat in ${}K[X]$ eine Faktorisierung in Linearfaktoren (der Körper sei algebraisch abgeschlossen)

${}{\tilde {F}}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\,.$

Da der Punkt ${}P$ eine Nullstelle ist, muss ${}a=\lambda _{i}$ für ein ${}i$ sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu Einheiten gemacht und „übrig“ bleibt

$K[X]/(X-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$

Dieser Ring hat die Dimension ${}\nu _{i}$.