Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension/Schnitt mit Gerade/Beispiel

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Sei und eine Gerade in der affinen Ebene gegeben, die keine Komponente von sei. Es sei ein Punkt des Durchschnitts. Den Restklassenring

berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen oder auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu , wobei man erhält, indem man in die Variable durch ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom hat in eine Faktorisierung in Linearfaktoren (der Körper sei algebraisch abgeschlossen)

Da der Punkt eine Nullstelle ist, muss für ein sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu Einheiten gemacht und „übrig“ bleibt

Dieser Ring hat die Dimension .