Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen  $R=K[X,Y{]}_{(X,Y)}$  und  $H=aX+bY$,  und wir nehmen  $b\ne 0$  an, sodass wir  $Y=cX$  schreiben können. Es sei zunächst die Gerade $L$ keine Tangente von $V(F)$ in $P$, also keine Komponente von $V(F_m)$. Es ist dann

$R/(F,H)\cong K[X{]}_{(X)}/(F_m(X,cX)+\cdots +F_d(X,cX)).$

Hierbei ist  $F_m(X,cX)\ne 0$  und es wird $X^{m}u$ mit einer Einheit $u$ rausdividiert, sodass der Restklassenring die $K$-Dimension $m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales $i$, $m\le i\le d$, mit  $F_i(X,cX)\ne 0$  (sonst wäre $L$ eine Komponente von $V(F)$). Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich  $i\ge m$. 

Zur bewiesenen Aussage