Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei $F = F_{m} + \dots + F_{d} \in K [X, Y]$ , $m \leq d$ , ein Polynom in homogener Zerlegung und $L = V (a X + b Y)$ eine Gerade durch den Nullpunkt $P$ , die keine Komponente von $V (F)$ sei.

Dann ist

${mult}_{P} (L, V (F)) \geq m_{P} (F) = m,$

d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.

Wenn $L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen