Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Multiplizität und Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition

Multiplizität

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Dann heißt ${}m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$. Sei ${}F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an ${}C$ im Punkt ${}P$. Die Vielfachheit von ${}G_{i}$ in ${}F_{m}$ nennt man auch die Multiplizität der Tangente.