Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Multiplizität und Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition

Multiplizität

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  $F\in K[X,Y]$  ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei  $P\in C=V(F)\subset {𝔸}_K^2$  ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

$F=F_d+F_{d-1}+\cdots +F_m$

die homogene Zerlegung von $F$ mit $F_d\ne 0$ und $F_m\ne 0$,  $d\ge m$.  Dann heißt $m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt $P$. Es sei  $F_m=G_1\cdots G_m$  die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_i),i=1,\dots ,m$, eine Tangente an $C$ im Punkt $P$. Die Vielfachheit von $G_i$ in $F_m$ nennt man auch die Multiplizität der Tangente.