Beweis
Durch eine lineare Variablentransformation können wir annehmen, dass
ist. Wir zeigen, dass es dann eine Potenzreihenlösung mit
und mit
(zu konstruierendem)
gibt. Wegen
und
erfüllt das die angegebene lineare
(Tangenten-)Bedingung.
Sei
.
Es ist
,
da andernfalls
kein Linearfaktor von
sein könnte, und es ist
,
da sonst
ein Linearfaktor mit einer Multiplizität
wäre.
Wir zeigen, dass es bei diesen Anfangsdaten eine eindeutig bestimmte Potenzreihe
gibt. Einsetzen von
und
in
ergibt für jedes
eine Bedingung, da der resultierende Koeffizient zu
gleich
sein muss. Der
-te Koeffizient ist eine Summe von Ausdrücken der Form
-
(diese Ausdrücke kommen mehrfach mit einem gewissen Multinomialkoeffizienten vor).
Da
ist, kommt für
der Term
nicht vor. Der Term
kommt erstmals im
-ten Koeffizienten vor, und zwar in der einzigen Weise
-
Ansonsten kommen in diesem Koeffizienten nur die
und
mit
vor. Da nach Voraussetzung
ist, ist dadurch der Wert von
eindeutig festgelegt. Die Koeffizienten
werden also induktiv konstruiert, wobei die Werte jeweils eindeutig durch die Bedingung an die Koeffizienten festgelegt sind.