Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Beweis

Beweis

Durch eine lineare Variablentransformation können wir annehmen, dass  ${}uX+vY=Y$  ist. Wir zeigen, dass es dann eine Potenzreihenlösung mit  ${}G=T$  und mit (zu konstruierendem)  ${}H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots$  gibt. Wegen  ${}a_{1}=1$  und  ${}b_{1}=0$  erfüllt das die angegebene lineare (Tangenten-)Bedingung.

Es sei  ${}F=\sum _{i,j}c_{ij}X^{i}Y^{j}$.  Es ist  ${}c_{m,0}=0$,  da andernfalls ${}Y$ kein Linearfaktor von ${}F_{m}$ sein könnte, und es ist  ${}c_{m-1,1}\neq 0$,  da sonst ${}Y$ ein Linearfaktor mit einer Multiplizität ${}\geq 2$ wäre.

Wir zeigen, dass es bei diesen Anfangsdaten eine eindeutig bestimmte Potenzreihe  ${}H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots$  gibt. Einsetzen von ${}G$ und ${}H$ in ${}F$ ergibt für jedes ${}k$ eine Bedingung, da der resultierende Koeffizient zu ${}T^{k}$ gleich ${}0$ sein muss. Der ${}k$-te Koeffizient ist eine Summe von Ausdrücken der Form

$c_{ij}b_{\ell _{1}}\cdots b_{\ell _{j}}{\text{ mit }}i+\sum _{\rho =1}^{j}\ell _{\rho }=k$

(diese Ausdrücke kommen mehrfach mit einem gewissen Multinomialkoeffizienten vor). Da  ${}\ell _{\rho }\geq 2$  ist, kommt für  ${}k<m+\ell -1$  der Term ${}b_{\ell }$ nicht vor. Der Term ${}b_{\ell }$ kommt erstmals im  ${}k=(m+\ell -1)$- ten Koeffizienten vor, und zwar in der einzigen Weise

$c_{m-1,1}b_{\ell }.$

Ansonsten kommen in diesem Koeffizienten nur die ${}c_{ij}$ und ${}b_{r}$ mit  ${}r<\ell$  vor. Da nach Voraussetzung  ${}c_{m-1,1}\neq 0$  ist, ist dadurch der Wert von ${}b_{\ell }$ eindeutig festgelegt. Die Koeffizienten ${}b_{\ell }$ werden also induktiv konstruiert, wobei die Werte jeweils eindeutig durch die Bedingung an die Koeffizienten festgelegt sind.

Zur bewiesenen Aussage