Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Beweis

Beweis

Durch eine lineare Variablentransformation können wir annehmen, dass ${}uX+vY=Y$ ist. Wir zeigen, dass es dann eine Potenzreihenlösung mit ${}G=T$ und mit (zu konstruierendem) ${}H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots$ gibt. Wegen ${}a_{1}=1$ und ${}b_{1}=0$ erfüllt das die angegebene lineare (Tangenten-)Bedingung.

Sei ${}F=\sum _{i,j}c_{ij}X^{i}Y^{j}$. Es ist ${}c_{m,0}=0$, da andernfalls ${}Y$ kein Linearfaktor von ${}F_{m}$ sein könnte, und es ist ${}c_{m-1,1}\neq 0$, da sonst ${}Y$ ein Linearfaktor mit einer Multiplizität ${}\geq 2$ wäre.

Wir zeigen, dass es bei diesen Anfangsdaten eine eindeutig bestimmte Potenzreihe ${}H=b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots$ gibt. Einsetzen von ${}G$ und ${}H$ in ${}F$ ergibt für jedes ${}k$ eine Bedingung, da der resultierende Koeffizient zu ${}T^{k}$ gleich ${}0$ sein muss. Der ${}k$-te Koeffizient ist eine Summe von Ausdrücken der Form

$c_{ij}b_{\ell _{1}}\cdots b_{\ell _{j}}{\text{ mit }}i+\sum _{\rho =1}^{j}\ell _{\rho }=k$

(diese Ausdrücke kommen mehrfach mit einem gewissen Multinomialkoeffizienten vor). Da ${}\ell _{\rho }\geq 2$ ist, kommt für ${}k<m+\ell -1$ der Term ${}b_{\ell }$ nicht vor. Der Term ${}b_{\ell }$ kommt erstmals im ${}k=(m+\ell -1)$-ten Koeffizienten vor, und zwar in der einzigen Weise

$c_{m-1,1}b_{\ell }.$

Ansonsten kommen in diesem Koeffizienten nur die ${}c_{ij}$ und ${}b_{r}$ mit ${}r<\ell$ vor. Da nach Voraussetzung ${}c_{m-1,1}\neq 0$ ist, ist dadurch der Wert von ${}b_{\ell }$ eindeutig festgelegt. Die Koeffizienten ${}b_{\ell }$ werden also induktiv konstruiert, wobei die Werte jeweils eindeutig durch die Bedingung an die Koeffizienten festgelegt sind.

Zur bewiesenen Aussage