Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt/Beweis

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Beweis

Durch eine lineare Variablentransformation können wir annehmen, dass ist. Wir zeigen, dass es dann eine Potenzreihenlösung mit und mit (zu konstruierendem) gibt. Wegen und erfüllt das die angegebene lineare (Tangenten-)Bedingung.

Sei . Es ist , da andernfalls kein Linearfaktor von sein könnte, und es ist , da sonst ein Linearfaktor mit einer Multiplizität wäre.

Wir zeigen, dass es bei diesen Anfangsdaten eine eindeutig bestimmte Potenzreihe gibt. Einsetzen von und in ergibt für jedes eine Bedingung, da der resultierende Koeffizient zu gleich sein muss. Der -te Koeffizient ist eine Summe von Ausdrücken der Form

(diese Ausdrücke kommen mehrfach mit einem gewissen Multinomialkoeffizienten vor). Da ist, kommt für der Term nicht vor. Der Term kommt erstmals im -ten Koeffizienten vor, und zwar in der einzigen Weise

Ansonsten kommen in diesem Koeffizienten nur die und mit vor. Da nach Voraussetzung ist, ist dadurch der Wert von eindeutig festgelegt. Die Koeffizienten werden also induktiv konstruiert, wobei die Werte jeweils eindeutig durch die Bedingung an die Koeffizienten festgelegt sind.

Zur bewiesenen Aussage