Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und sei  $F\in K[X,Y]$  ein Polynom $\ne 0$ mit  $(0,0)\in C=V(F)$  und sei  $F=F_d+\cdots +F_m$  die homogene Zerlegung von $F$ mit  $d\ge m$  und mit  $F_m\ne 0$.  Es sei $uX+vY$ ein einfacher Linearfaktor von $F_m$ (also ein lineares Polynom, das eine Tangente mit Multiplizität $1$ definiert).

Dann gibt es Potenzreihen

$G=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{T}^n,H=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}{b}_{\ell }{T}^{\ell }\in K[[T]]$

mit  $F(G,H)=0$  und mit konstantem Term  $a_0,b_0=0$  und mit  $a_{1}u+b_{1}v=0$. 

Dabei kann eine der Potenzreihen als ein lineares Polynom gewählt werden.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen