Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein Polynom ${}\neq 0$ mit  ${}(0,0)\in C=V(F)$  und sei  ${}F=F_{d}+\cdots +F_{m}$  die homogene Zerlegung von ${}F$ mit  ${}d\geq m$  und mit  ${}F_{m}\neq 0$.  Es sei ${}uX+vY$ ein einfacher Linearfaktor von ${}F_{m}$ (also ein lineares Polynom, das eine Tangente mit Multiplizität ${}1$ definiert).

Dann gibt es Potenzreihen

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n},\,H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

mit  ${}F(G,H)=0$  und mit konstantem Term  ${}a_{0},b_{0}=0$  und mit  ${}a_{1}u+b_{1}v=0$. 

Dabei kann eine der Potenzreihen als ein lineares Polynom gewählt werden.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen