Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein Polynom ${}\neq 0$ mit ${}(0,0)\in C=V(F)$ und sei ${}F=F_{d}+\cdots +F_{m}$ die homogene Zerlegung von ${}F$ mit ${}d\geq m$ und mit ${}F_{m}\neq 0$. Es sei ${}uX+vY$ ein einfacher Linearfaktor von ${}F_{m}$ (also ein lineares Polynom, das eine Tangente mit Multiplizität ${}1$ definiert).

Dann gibt es Potenzreihen

$G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n},\,H=\sum _{\ell =0}^{\infty }b_{\ell }T^{\ell }\in K[\![T]\!]$

mit

${}F(G,H)=0$ und mit konstantem Term ${}a_{0},b_{0}=0$ und mit ${}a_{1}u+b_{1}v=0$.

Dabei kann eine der Potenzreihen als ein lineares Polynom gewählt werden.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen