Ebene algebraische Kurven/Z mod 5/Einheitskreis und x^3-2y^2+3/Durchschnitt und unendlich ferne Punkte/Aufgabe/Lösung

a) Wir addieren die beiden Gleichungen

$2X^2+2Y^2-2=0\text{ und }{X}^3-2Y^2+3=0$

und erhalten die Bedingung

$X^3+2X^2+1=0.$

Für die möglichen Werte $x=0,1,2,3,4$ ergibt sich beim Einsetzen:$1,4,2,1,2$. Diese Bedingung ist also nicht erfüllbar und daher ist der Durchschnitt der beiden Kurven in ${𝔸}_K^2$ leer.

b) Es geht um die Punkte in ${\mathbb{P}}_K^2$, die  $X^2+Y^2-Z^2=0$  und gleichzeitig  $Z=0$  erfüllen. Dies führt zur Bedingung  $X^2+Y^2=0$.  Die Quadrate in $\mathbb{Z}/(5)$ sind $0,1,4$. Die Lösung $(0,0,0)$ ist nicht erlaubt, da sie keinen projektiven Punkt repräsentiert, und man erhält die Lösungen $(\pm 1,\pm 2)$ und $(\pm 2,\pm 1)$. Da wir an den projektiven Punkten interessiert sind, kann man die erste Komponente zu $1$ normieren und die zweite Komponente muss $2$ oder  $-2=3$  sein. Es gibt also zwei unendlich ferne Punkte $(1,2,0)$ und $(1,3,0)$.

c) Die beiden Gleichungen  $X^3-2Y^{2}Z+3Z^3=0$  und  $Z=0$  führen direkt auf  $X^3=0$  und damit  $X=0$,  sodass der einzige unendlich ferne Punkt gleich $(0,1,0)$ ist.

d) Der projektive Abschluss ist nach Definition der Zariski-Abschluss. Da $V(X^2+Y^2-1)$ eine endliche Punktmenge ist, ist dies schon abgeschlossen und stimmt mit seinem Abschluss überein. $V_{+}(X^2+Y^2-Z^2)$ enthält aber nach Teil (b) zusätzliche Punkte, es ist also nicht der projektive Abschluss.

Zur gelösten Aufgabe