Ebene algebraische Kurven/x^2+y^2-1 und y-x^2/Schnitt als Produktring/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und betrachte den Durchschnitt der beiden algebraischen Kurven

$V(X^{2}+Y^{2}-1){\text{ und }}V(Y-X^{2}).$

Identifiziere den Restklassenring

${}R=K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1,Y-X^{2})\,$

mit einem Produktring und beschreibe die Restklassenabbildung ${}K[X,Y]\rightarrow R$ mittels dieser Identifizierung. Bestimme Urbilder in ${}K[X,Y]$ für sämtliche idempotenten Elemente

des Produktringes.

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