Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Hesse-Matrix/Fakt/Beweis

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Beweis

Durch eine lineare Transformation können wir erreichen, dass ist und dass die Tangente der Kurve durch diesen Punkt durch gegeben ist. Da die Tangente durch die Gleichung

beschrieben wird, folgt

Dies bedeutet wiederum, dass die Monome und nicht in vorkommen. Die Hesse-Matrix hat somit im gegebenen Punkt die Form

Diese Hesse-Matrix ist nach Voraussetzung nicht invertierbar, es sei ein Element des Kernes. Wir betrachten zuerst den Fall, wo ist. Aus der dritten Zeile folgt

Daher kommt in nicht vor. Dies bedeutet, dass in die Variable höchstens in der ersten Potenz vorkommt. Doch in diesem Fall ist die Kurve nach Aufgabe nicht glatt.

Wir betrachten nun den Fall, wo ist, sagen wir . Bei erhält man mit der zweiten Zeile wie soeben eine nichtglatte Kurve. Sei also . Da und zusammen mit die gleiche projektive Gerade definieren, können wir nach einer weiteren linearen Transformation, die die Koordinaten des Punktes und die Tangentengleichung nicht ändert, annehmen. Daraus ergibt sich

was wiederum bedeutet, dass die Monome und in nicht vorkommen. Somit besitzt die Form

mit einem homogenen Polynom vom Grad in und . Da die Kurve irreduzibel ist, muss in vorkommen. Wenn man die so gegebene Kurve mit der Tangente, also mit der Bedingung schneidet, so muss und also sein, es gibt also genau einen Schnittpunkt mit der Tangente.