Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Hesse-Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Durch eine lineare Transformation können wir erreichen, dass ${}P=(0,0,1)$ ist und dass die Tangente der Kurve durch diesen Punkt durch ${}Y=0$ gegeben ist. Da die Tangente durch die Gleichung

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\cdot X+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\cdot Y+{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\cdot Z=0\,$

beschrieben wird, folgt

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)={\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)=0\,.$

Dies bedeutet wiederum, dass die Monome ${}XZ^{2}$ und ${}Z^{3}$ nicht in ${}F$ vorkommen. Die Hesse-Matrix hat somit im gegebenen Punkt die Form

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)&{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&0\\{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)\\0&{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)&0\end{pmatrix}}.$

Diese Hesse-Matrix ist nach Voraussetzung nicht invertierbar, es sei ${}v\neq 0$ ein Element des Kernes. Wir betrachten zuerst den Fall, wo ${}v\notin \langle e_{1},e_{3}\rangle$ ist. Aus der dritten Zeile folgt

${}{\frac {\partial }{\partial Y}}{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)=0\,.$

Daher kommt ${}YZ^{2}$ in ${}F$ nicht vor. Dies bedeutet, dass in ${}F$ die Variable ${}Z$ höchstens in der ersten Potenz vorkommt. Doch in diesem Fall ist die Kurve nach Aufgabe nicht glatt.

Wir betrachten nun den Fall, wo ${}v\in \langle e_{1},e_{3}\rangle$ ist, sagen wir ${}v={\begin{pmatrix}\alpha \\0\\\gamma \end{pmatrix}}$. Bei ${}\alpha =0$ erhält man mit der zweiten Zeile wie soeben eine nichtglatte Kurve. Es sei also ${}\alpha \neq 0$. Da ${}v$ und ${}e_{1}$ zusammen mit ${}e_{3}$ die gleiche projektive Gerade definieren, können wir nach einer weiteren linearen Transformation, die die Koordinaten des Punktes und die Tangentengleichung nicht ändert, ${}v=e_{1}$ annehmen. Daraus ergibt sich

${}{\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)={\frac {\partial }{\partial X}}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=0\,,$

was wiederum bedeutet, dass die Monome ${}X^{2}Z$ und ${}XYZ$ in ${}F$ nicht vorkommen. Somit besitzt ${}F$ die Form

$aYZ^{2}+bY^{2}Z+G(X,Y)$

mit einem homogenen Polynom ${}G$ vom Grad ${}3$ in ${}X$ und ${}Y$. Da die Kurve irreduzibel ist, muss ${}X^{3}$ in ${}G$ vorkommen. Wenn man die so gegebene Kurve mit der Tangente, also mit der Bedingung ${}Y=0$ schneidet, so muss ${}X^{3}=0$ und also ${}X=0$ sein, es gibt also genau einen Schnittpunkt mit der Tangente.

Zur bewiesenen Aussage