Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt, der nicht auf der Kurve liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da der Körper insbesondere unendlich ist. Wir betrachten die Projektion weg von ${}P$, die insgesamt einen Morphismus

$C\hookrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$

induziert. Die Faser dieses Morphismus über einem Punkt ${}Q\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ (der eine Richtung in $P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ repräsentiert) besteht genau aus den Punkten der Kurve, die auf der durch ${}Q$ definierten Geraden

${}G=V_{+}(aX+bY+cZ)\cong {\mathbb {P} }_{K}^{1}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

liegen. Daher wird die Faser über ${}Q$ auf ${}G$ beschrieben, indem man in der Kurvengleichung ${}C=V_{+}(F)$ mittels der Geradengleichung eine Variable eliminiert. Das Ergebnis ist ein homogenes Polynom ${}{\bar {F}}$ in zwei Variablen vom Grad ${}d$, das nicht ${}0$ ist, denn sonst wäre ${}P$ ein Punkt der Kurve. Da wir über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind, besitzt dieses Polynom ${}{\bar {F}}$ mindestens eine und höchstens ${}d$ Nullstellen, die alle von ${}P$ verschieden sind. Dies ergibt die Surjektivität und die Abschätzung für die Faser.

Zur bewiesenen Aussage