Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Implizite Abbildungen/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Situation auf dem affinen Stück

${}{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(X)\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,.$

Dabei ist ${}V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})$, wobei ${}{\tilde {F}}$ hier die Dehomogenisierung von ${}F$ bezüglich der Variablen ${}X$ bezeichnet, also in ${}F$ einfach ${}X=1$ gesetzt wird und die verbleibenden Variablen ${}Y$ und ${}Z$ sich auf ${}{\mathbb {C} }^{2}$ beziehen. Bei diesem Prozess ist (siehe Aufgabe)

${}{\left({\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Y}}\,$

und

${}{\left({\frac {\partial F}{\partial Z}}\right)}{\left({\frac {1}{X}}\right)}={\frac {\partial {\tilde {F}}}{\partial Z}}\,.$

Wegen Aufgabe ist in jedem Punkt der Kurve zumindest eine dieser partiellen Ableitungen ${}\neq 0$. Somit sind auf ${}V_{+}(F)\cap D_{+}(X)=V({\tilde {F}})\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ und ebenso auf den beiden anderen affinen Ausschnitten die Bedingungen aus Fakt erfüllt und die ${}V({\tilde {F}})$ sind jeweils eine riemannsche Fläche. Auf ${}D_{+}(X)\cap D_{+}(Y)$ passen die komplexen Strukturen zusammen, da der Satz über implizite Abbildungen eine eindeutige komplexe Struktur festlegt.

Die Kompaktheit ergibt sich aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage