Ebene projektive Kurven/Kegelschnitt als affine Ausschnitte/Beispiel

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Wir betrachten den Standardkegel

Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve (vom Grad zwei)

auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene nennt man Kegelschnitte. Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene , auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene (wobei eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu beschreibt). Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve . Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte.

Die Schnitte mit einer Ebenen durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen .