Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition

${}\kappa (t)=\gamma _{1}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)-\gamma _{2}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)\,.$

Aus

${}{\left(\gamma _{1}'(t)\right)}^{2}+{\left(\gamma _{2}'(t)\right)}^{2}=1\,$

folgt

${}\gamma _{1}'(t)\gamma _{1}^{\prime \prime }(t)+\gamma _{2}'(t)\gamma _{2}^{\prime \prime }(t)=0\,,$

daher steht ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)$ senkrecht auf ${}\gamma '(t)$ und ist linear abhängig zu ${}N(t)$. Somit ist

${}\gamma ^{\prime \prime }(t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle N(t)=\kappa (t)N(t)\,$

und somit ist

${}\Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert =\vert {\kappa (t)}\vert \,.$

Zur bewiesenen Aussage