Ebene reguläre Kurve/Krümmung/Skalarprodukt/Fakt

Satz über die Beziehung zwischen Krümmung und Einheitsnormalenvektor einer bogenparametrisierten ebenen Kurve

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.

Dann ist die Krümmung von ${}\gamma$ in ${}t$ gleich

${}\kappa (t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle =\pm \Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert \,,$

wobei

${}N(t)={\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t)\\\gamma _{1}'(t)\end{pmatrix}}\,$

ein Einheitsnormalenvektor in ${}\gamma (t)$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen