Echte Potenzen/Kehrwerte/Summierbar/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die etwas stärkere Aussage, dass die (größere) Familie ${}{\frac {1}{n^{k}}}$, ${}(k,n)\in \mathbb {N} _{\geq 2}\times \mathbb {N} _{\geq 2}$, summierbar ist, indem wir zeigen, dass sie nach oben beschränkt. Die Familie der Kehrwerte der echten Quadrate, also die Teilfamilie ${}{\frac {1}{n^{2}}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$, ist nach Beispiel summierbar. Wegen ${}{\frac {1}{n^{3}}}\leq {\frac {1}{n^{2}}}$ ist auch die Teilfamilie ${}{\frac {1}{n^{3}}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 2}$, summierbar. Die übrigen Summanden unterteilen wir in ${}{\frac {1}{n^{k}}}$ mit ${}k$ gerade oder ungerade und ${}k\geq 4$. Für diese ist einerseits

${}\sum _{n\geq 2,\,k\geq 4{\text{ gerade }}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell }}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{{(n^{2})}^{\ell }}}\,$

und andererseits

${}\sum _{n\geq 2,\,k\geq 4{\text{ ungerade }}}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell +1}}}\leq \sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{n^{2\ell }}}=\sum _{n\geq 2,\,\ell \geq 2}{\frac {1}{{(n^{2})}^{\ell }}}\,,$

wobei die rechte Seite jeweils als Teilfamilie der Familie der Kehrwerte der Quadrate summierbar ist. Die Gesamtfamilie ist als Vereinigung von vier summierbaren Familien wieder summierbar.

Zur gelösten Aufgabe