Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel heran, wo wir die Konvergenz von ${}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$ gezeigt haben. Für ${}k\geq 2$ ist

${\frac {1}{k^{2}}}\leq {\frac {1}{k(k-1)}}.$

Daher konvergiert ${}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ und somit auch ${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden kann man zeigen, dass diese Summe gleich ${}{\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ist.