Reelle Reihe/Kehrwerte der Quadrate/Konvergenz/Beispiel

Wir wollen bestimmen, ob die Reihe

${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\ldots \,$

konvergiert oder nicht. Dazu ziehen wir das Majorantenkriterium und Beispiel heran, wo wir die Konvergenz von ${}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$ gezeigt haben. Für ${}k\geq 2$ ist

${}{\frac {1}{k^{2}}}\leq {\frac {1}{k(k-1)}}\,.$

Daher konvergiert ${}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ und somit auch ${}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$. Über den Wert der Summe ist damit noch nichts gesagt. Mit deutlich aufwändigeren Methoden (siehe Fakt) kann man zeigen, dass diese Summe gleich ${}{\frac {\pi ^{2}}{6}}$ ist.