Eigentliche Abbildung/Abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass das Bild ${}\varphi (X)$ abgeschlossen in ${}Y$ ist. Sei ${}y\notin \varphi (X)$ und sei ${}y\in V=T\subseteq Y$ mit ${}V$ offen und ${}T$ kompakt. Dann ist nach Voraussetzung auch ${}\varphi ^{-1}(T)\subseteq X$ kompakt. Somit ist auch ${}\varphi (\varphi ^{-1}(T))$ kompakt und daher abgeschlossen. Wegen ${}y\notin \varphi (\varphi ^{-1}(T))$ ist ${}y\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung. Wäre

${}\varphi (x)\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}\,$

für ein ${}x\in X$, so ist ${}x\notin \varphi ^{-1}(T)$ und ${}x\notin T$, waszu ${}x\in V$ einen Widerspruch darstellt. Also ist ${}V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung von ${}y$, die disjunkt zum Bild ist, und daher ist das Bild abgeschlossen.

Zur bewiesenen Aussage