Eigentliche Abbildung/Abgeschlossen/Fakt/Beweis

Beweis

Es genügt zu zeigen, dass das Bild ${}\varphi (X)$ abgeschlossen in ${}Y$ ist. Sei  ${}y\notin \varphi (X)$  und sei  ${}y\in V=T\subseteq Y$  mit ${}V$ offen und ${}T$ kompakt. Dann ist nach Voraussetzung auch  ${}\varphi ^{-1}(T)\subseteq X$  kompakt. Somit ist auch ${}\varphi (\varphi ^{-1}(T))$ kompakt und daher abgeschlossen. Wegen  ${}y\notin \varphi (\varphi ^{-1}(T))$  ist  ${}y\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$  eine offene Umgebung. Wäre

${}\varphi (x)\in V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}\,$

für ein  ${}x\in X$,  so ist  ${}x\notin \varphi ^{-1}(T)$  und  ${}x\notin T$,  waszu  ${}x\in V$  einen Widerspruch darstellt. Also ist ${}V\cap {\left(Y\setminus \varphi (\varphi ^{-1}(T))\right)}$ eine offene Umgebung von ${}y$, die disjunkt zum Bild ist, und daher ist das Bild abgeschlossen.

Zur bewiesenen Aussage