Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Halbachsen/Halbachsenklassen/Definition

Halbachsenklassen

Es sei  ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$  eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Dann nennt man jede Gerade durch den Nullpunkt, die als Drehachse eines Elementes  ${}g\neq \operatorname {Id}$  auftritt, eine Achse von ${}G$. Die Halbgeraden dieser Drehachsen nennt man die Halbachsen der Gruppe und die Gesamtmenge dieser Halbachsen nennen wir das zu ${}G$ gehörige Halbachsensystem. Es wird mit ${}{\mathfrak {H}}(G)$ bezeichnet. Zwei Halbachsen  ${}H_{1},H_{2}\in {\mathfrak {H}}(G)$  heißen äquivalent, wenn es ein  ${}g\in G$  mit  ${}g(H_{1})=H_{2}$  gibt. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man Halbachsenklassen.