Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

Für zwei gegenüberliegende Halbachsen und gilt . Dagegen gilt für zwei Halbachsen und , die nicht zur gleichen Achse gehören (also insbesondere verschieden sind), die Beziehung , da eine Isometrie mit zwei Fixachsen die Identität sein muss. Da die Vereinigung aller , ist, liegt eine Vereinigung

vor, wobei rechts jedes Gruppenelement genau zweimal vorkommt. Daher ist

Die Halbachsenklasse enthält Elemente. Daher ist

Mittels Division durch ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage