Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Für zwei gegenüberliegende Halbachsen $H$ und $-H$ gilt  $G_H=G_{-H}$.  Dagegen gilt für zwei Halbachsen $H_1$ und $H_2$, die nicht zur gleichen Achse gehören (also insbesondere verschieden sind), die Beziehung  $G_{H_1}\cap G_{H_2}=\mathrm{Id}$,  da eine Isometrie mit zwei Fixachsen die Identität sein muss. Da $G$ die Vereinigung aller $G_H,H\in ℌ(G)$, ist, liegt eine Vereinigung

$G\setminus \{\mathrm{Id}\}=\bigcup _{H\in ℌ(G)}(G_H\setminus \{\mathrm{Id}\})$

vor, wobei rechts jedes Gruppenelement  $g\ne \mathrm{Id}$  genau zweimal vorkommt. Daher ist

$2(n-1)=\sum _{H\in ℌ(G)}(\mathrm{ord}(G_H)-1).$

Die Halbachsenklasse $K_i$ enthält $n/n_i$ Elemente. Daher ist

$2(n-1)=\sum _{H\in ℌ(G)}(\mathrm{ord}(G_H)-1)=\sum _{i=1}^m\sum _{H\in K_i}(n_i-1)=\sum _{i=1}^m\frac{n}{n_i}(n_i-1).$

Mittels Division durch $n$ ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage