Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt

Numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{SO}}_3(ℝ)$  eine endliche Untergruppe der Ordnung $n$ in der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien des ${ℝ}^3$. Es seien $K_1,\dots ,K_m$ die verschiedenen Halbachsenklassen zu $G$, und zu jeder dieser Klassen sei $n_i$, $i=1,\dots ,m$, die Ordnung der Gruppe $G_H$, $H\in K_i$, die nach Fakt unabhängig von  $H\in K_i$  ist.

Dann ist

$2(1-\frac{1}{n})=\sum _{i=1}^m(1-\frac{1}{n_i}).$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen