a) Wir betrachten die Identität auf
. Jeder Vektor
-

ist Eigenvektor zum Eigenwert
. Die duale Abbildung ist ebenfalls die Identität, und daher ist unabhängig von der gewählten Basis
ein Eigenvektor zum Eigenwert
der dualen Abbildung.
b) Wir betrachten die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung
-
Der Standardvektor
ist ein Eigenvektor zum Eigenwert
. Bezüglich der Dualbasis zur Standardbasis
wird die duale Abbildung durch die gleiche
(transponierte)
Matrix beschrieben und somit ist auch
ein Eigenvektor zum Eigenwert
. Wenn wir dagegen die Basis
betrachten, so ist einerseits
-

und andererseits
-

also sind
und
linear unabhängig
(wegen
ist
nicht die Nullabbildung)
und daher ist
kein Eigenvektor der dualen Abbildung.
c) Wir betrachten die durch
gegebene lineare Abbildung
-
mit dem Eigenvektor
zum Eigenwert
und eine Basis der Form
mit
.
Es ist einerseits
-

und andererseits
-

Wegen
und
sind
und
linear unabhängig,

ist also kein Eigenvektor der dualen Abbildung.