Eigenvektor/Dualraum/Dualbasis/Aufgabe/Lösung

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a) Wir betrachten die Identität auf . Jeder Vektor

ist Eigenvektor zum Eigenwert . Die duale Abbildung ist ebenfalls die Identität, und daher ist unabhängig von der gewählten Basis ein Eigenvektor zum Eigenwert der dualen Abbildung.

b) Wir betrachten die durch die Matrix gegebene lineare Abbildung

Der Standardvektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Bezüglich der Dualbasis zur Standardbasis wird die duale Abbildung durch die gleiche (transponierte) Matrix beschrieben und somit ist auch ein Eigenvektor zum Eigenwert . Wenn wir dagegen die Basis betrachten, so ist einerseits

und andererseits

also sind und linear unabhängig (wegen ist nicht die Nullabbildung) und daher ist kein Eigenvektor der dualen Abbildung.

c) Wir betrachten die durch gegebene lineare Abbildung

mit dem Eigenvektor zum Eigenwert und eine Basis der Form mit . Es ist einerseits

und andererseits

Wegen und sind und

linear unabhängig, ist also kein Eigenvektor der dualen Abbildung.