Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/2/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\chi _{A}&=\det {\begin{pmatrix}x-1&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&x-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&x-1+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&=(x-1)(x-3{\mathrm {i} })(x-1+{\mathrm {i} })\\&=x^{3}-(2+2{\mathrm {i} })x^{2}+(4+5{\mathrm {i} })x+-3-3{\mathrm {i} }\end{aligned}}$

und die Eigenwerte von ${}A$ sind ${}1,3{\mathrm {i} },1+{\mathrm {i} }$.

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

${}x=1$:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

${\begin{pmatrix}0&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&1-3{\mathrm {i} }&-{\mathrm {i} }\\0&0&{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

bestimmen. Da gehört ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ dazu.

${}x=3{\mathrm {i} }$:

Dies führt auf

${\begin{pmatrix}-1+3{\mathrm {i} }&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&0&-{\mathrm {i} }\\0&0&-1-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Wir wählen ${}c=0$ und ${}a=2$ und erhalten ${}b=-1+3{\mathrm {i} }$, also ist

${\begin{pmatrix}2\\-1+3{\mathrm {i} }\\0\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}3{\mathrm {i} }$.

${}x=1-{\mathrm {i} }$:

Dies führt auf

${\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }&-2&-1-2{\mathrm {i} }\\0&1-2{\mathrm {i} }&-i\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

Mit ${}c=1-2{\mathrm {i} }$ und ${}b={\mathrm {i} }$ ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

$({\mathrm {i} })a-2{\mathrm {i} }+(-1-2{\mathrm {i} })(1-2{\mathrm {i} })=0$

und daher ist

${}a=2-5{\mathrm {i} }\,.$

Somit ist

${\begin{pmatrix}2-5{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }\\1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}1-{\mathrm {i} }$.

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3{\mathrm {i} }&0\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe