Einerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}111=11\cdot 10+1\,$

   kein Vielfaches von ${}11$ und

   ${}1111=101\cdot 11\,.$

2. Bei ${}m$ gerade ist  ${}m=2n$.  Das Produkt der ${}11$ mit der Zahl ${}1010\ldots 101$ mit ${}n$ Einsen (und ${}n-1$ Nullen) und dann ist

   ${}1010\ldots 101\cdot 11=1111\cdots 1111\,$

   mit ${}\ell$ Einsen, also ist ${}11$ ein Teiler. Die umgekehrte Richtung wird unter (3) systematischer bewiesen.

3. Wir schreiben

   ${}x=\sum _{j=0}^{\ell -1}10^{j}\,$

   und

   ${}y=\sum _{j=0}^{m-1}10^{j}\,.$

   Wenn ${}\ell$ ein Teiler von ${}m$ ist, so gilt  ${}m=\ell \cdot n$  mit einem  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es ist dann nach dem allgemeinen Distributivgesetz

   ${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=0}^{\ell -1}10^{j}\right)}{\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{\ell i}\right)}&=\sum _{0\leq j\leq \ell -1,\,0\leq i\leq n-1}10^{\ell i+j}\\&=\sum _{k=0}^{m-1}10^{k}\\&=y,\end{aligned}}$

   da jedes ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}m-1$ nach der Division mit Rest eine eindeutige Darstellung als

   ${}k=\ell i+j\,$

   mit den angegebenen Bedingungen für ${}i$ und ${}j$ besitzt.

   Wenn ${}\ell$ kein Teiler von ${}m$ ist, so gilt  ${}m=\ell \cdot n+r$  mit einem  ${}n\in \mathbb {N}$  und  ${}0<r<\ell$.  Es ist dann

   ${}{\begin{aligned}y&=\sum _{k=0}^{m-1}10^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\ell \cdot n+r-1}10^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\ell \cdot n-1}10^{k}+\sum _{s=0}^{r-1}10^{\ell \cdot n+s}\\&=\sum _{k=0}^{\ell \cdot n-1}10^{k}+10^{\ell \cdot n}\sum _{s=0}^{r-1}10^{s}.\end{aligned}}$

   Der linke Summand ist ein Vielfaches von ${}x$ aufgrund der Hinrichtung. Nehmen wir an, dass ${}y$ ein Vielfaches von ${}x$ wäre. Dann wäre auch der rechte Summand, also ${}10^{\ell \cdot n}\sum _{s=0}^{r-1}10^{s}$, ein Vielfaches von ${}x$. Dann müsste ${}\sum _{s=0}^{r-1}10^{s}$ ein Vielfaches von  ${}x=\sum _{j=0}^{\ell -1}10^{j}$  sein, da die Zehnerpotenz und ${}x$ teilerfremd sind. Dies kann wegen  ${}r-1<\ell -1$  nicht sein.

Zur gelösten Aufgabe