Einerzahlen/Teilbarkeitsbeziehung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   $111=11\cdot 10+1$

   kein Vielfaches von $11$ und

   $1111=101\cdot 11.$

2. Bei $m$ gerade ist  $m=2n$.  Das Produkt der $11$ mit der Zahl $1010\dots 101$ mit $n$ Einsen (und $n-1$ Nullen) und dann ist

   $1010\dots 101\cdot 11=1111\cdots 1111$

   mit $\ell$ Einsen, also ist $11$ ein Teiler. Die umgekehrte Richtung wird unter (3) systematischer bewiesen.

3. Wir schreiben

   $x=\sum _{j=0}^{\ell -1}10^j$

   und

   $y=\sum _{j=0}^{m-1}10^j.$

   Wenn $\ell$ ein Teiler von $m$ ist, so gilt  $m=\ell \cdot n$  mit einem  $n\in \mathbb{N}$.  Es ist dann nach dem allgemeinen Distributivgesetz

   $\begin{array}{cc}\left(\sum _{j=0}^{\ell -1}10^j\right)\left(\sum _{i=0}^{n-1}10^{\ell i}\right)& =\sum _{0\le j\le \ell -1,0\le i\le n-1}10^{\ell i+j}\\ & =\sum _{k=0}^{m-1}10^k\\ & =y,\end{array}$

   da jedes $k$ zwischen $0$ und $m-1$ nach der Division mit Rest eine eindeutige Darstellung als

   $k=\ell i+j$

   mit den angegebenen Bedingungen für $i$ und $j$ besitzt.

   Wenn $\ell$ kein Teiler von $m$ ist, so gilt  $m=\ell \cdot n+r$  mit einem  $n\in \mathbb{N}$  und  $0<r<\ell$.  Es ist dann

   $\begin{array}{cc}y& =\sum _{k=0}^{m-1}10^k\\ & =\sum _{k=0}^{\ell \cdot n+r-1}10^k\\ & =\sum _{k=0}^{\ell \cdot n-1}10^k+\sum _{s=0}^{r-1}10^{\ell \cdot n+s}\\ & =\sum _{k=0}^{\ell \cdot n-1}10^k+10^{\ell \cdot n}\sum _{s=0}^{r-1}10^s.\end{array}$

   Der linke Summand ist ein Vielfaches von $x$ aufgrund der Hinrichtung. Nehmen wir an, dass $y$ ein Vielfaches von $x$ wäre. Dann wäre auch der rechte Summand, also $10^{\ell \cdot n}\sum _{s=0}^{r-1}10^s$, ein Vielfaches von $x$. Dann müsste $\sum _{s=0}^{r-1}10^s$ ein Vielfaches von  $x=\sum _{j=0}^{\ell -1}10^j$  sein, da die Zehnerpotenz und $x$ teilerfremd sind. Dies kann wegen  $r-1<\ell -1$  nicht sein.

Zur gelösten Aufgabe