Einfache endliche Körpererweiterung/Matrixdarstellung/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei $K\subseteq L=K[x]$ eine endliche einfache Körpererweiterung und sei ${\mu }_x:L\to L$ die Multiplikation mit $x$.

a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung ${\mu }_x$ bezüglich der Basis $1,x,x^2,\dots ,x^{n-1}$ von $L$ mithilfe des Minimalpolynoms von $x$.

b) Zeige ausgehend von der Matrix aus a), dass das charakteristische Polynom zu ${\mu }_x$ mit dem Minimalpolynom zu $x$ übereinstimmt.

c) Begründe „theoretisch“, dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist.

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