Einfache endliche Körpererweiterung/Matrixdarstellung/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L=K[x]$ eine endliche einfache Körpererweiterung und sei ${}\mu _{x}\colon L\rightarrow L$ die Multiplikation mit ${}x$.

a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung ${}\mu _{x}$ bezüglich der Basis ${}1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}$ von ${}L$ mit Hilfe des Minimalpolynoms von ${}x$.

b) Zeige ausgehend von der Matrix aus a), dass das charakteristische Polynom zu ${}\mu _{x}$ mit dem Minimalpolynom zu ${}x$ übereinstimmt.

c) Begründe „theoretisch“, dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist.

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