Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}1+X+(1-X)=2\,,$

   sodass die beiden Ringelemente das Einheitsideal erzeugen.

2. Es ist

   ${}Y^{2}=1-X^{2}=(1-X)(1+X)\,.$

   Wir führen die Nenneraufnahme für ${}S$ und ${}B$ an ${}1-X$ durch. Es ist dann

   ${}Z={\frac {Y}{1-X}}W\,$

   und wir können ${}Z$ in der Darstellung von ${}B$ eliminieren. Die weitere Gleichung

   ${}YZ=(1+X)W\,$

   wird dann zu

   ${}Y{\left({\frac {Y}{1-X}}W\right)}=(1+X)W\,.$

   Dies ergibt sich aber bereits aus der Kreisgleichung, ist also überflüssig, und somit ist

   ${}{\begin{aligned}B_{1-X}&\cong {\left(K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\right)}_{1-X}\\&\cong {\left(K[X,Y,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1-X}\\&\cong {\left(K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1-X}[W]\\&=S_{1-X}[W].\end{aligned}}$

   Wir führen nun die Nenneraufnahme für ${}S$ und ${}B$ an ${}1+X$ durch. Es ist dann

   ${}W={\frac {Y}{1+X}}Z\,$

   und wir können ${}W$ in der Darstellung von ${}B$ eliminieren. Die weitere Gleichung

   ${}(1-X)Z=YW\,$

   wird dann zu

   ${}(1-X)Z=Y{\left({\frac {Y}{1+X}}Z\right)}\,.$

   Dies ergibt sich aber bereits aus der Kreisgleichung, ist also überflüssig, und somit ist

   ${}{\begin{aligned}B_{1+X}&\cong {\left(K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\right)}_{1+X}\\&\cong {\left(K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1+X}\\&\cong {\left(K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\right)}_{1+X}[Z]\\&=S_{1+X}[Z].\end{aligned}}$

3. Teil (2) zeigt unmittelbar, dass ${}L{|}_{D(1-X)}$ und ${}L{|}_{D(1-X)}$ isomorph zu ${}D(1-X)\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ und ${}L{|}_{D(1+X}$ isomorph zu ${}D(1+X)\times {\mathbb {A} }_{K}^{1}$ ist. Auf ${}D(1-X)\cap D(1+X)=D(1-X^{2})=D(Y)$ ist die Übergangsabbildung durch

   ${}Z={\frac {Y}{1-X}}W\,$

   gegeben, ist also linear.

Zur gelösten Aufgabe