Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$. Wir betrachten den kommutativen Ring

${}S=K[X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,$

und die ${}S$-Algebra

${}{\begin{aligned}B&=K[X,Y,Z,W]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1,(1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}\\&=S[Z,W]/{\left((1-X)Z-YW,YZ-(1+X)W\right)}.\end{aligned}}$

Es sei ${}U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$ und ${}L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}$ mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

$p\colon L=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(B\right)}\longrightarrow U=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}.$

1. Zeige, dass ${}D(1-X)$ und ${}D(1+X)$ eine offene affine Überdeckung von ${}U$ ist.
2. Zeige

   ${}B_{1-X}\cong S_{1-X}[W]\,$

   und

   ${}B_{1+X}\cong S_{1+X}[Z]\,$

3. Zeige, dass ${}L$ ein Geradenbündel über ${}U$ ist.

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