Einheitskreis/Lokalisierung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Es sei ${}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper ${}K$ und es sei ${}P=(a,b)\in V$ ein Punkt.

1. Zeige, dass der lokale Ring ${}R$ von ${}V$ im Punkt ${}P$ ein diskreter Bewertungsring ist.
2. Folgere, dass der Koordinatenring ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ normal ist (man kann ${}K$ algebraisch abgeschlossen annehmen).
3. Zeige, dass ${}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ nicht faktoriell ist.
4. Bestimme die Ordnung von ${}X$ und von ${}Y-1$ im lokalen Ring zum Punkt ${}(0,1)$.

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