Einheitskreis/Lokalisierung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe

Es sei $V = V (x^{2} + y^{2} - 1) \subseteq 𝔸_{K}^{2}$ der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es sei $P = (a, b) \in V$ ein Punkt.

a) Zeige, dass der lokale Ring $R$ von $V$ im Punkt $P$ ein diskreter Bewertungsring ist.

b) Folgere, dass der Koordinatenring $K [X, Y] / (X^{2} + Y^{2} - 1)$ normal ist (man kann $K$ algebraisch abgeschlossen annehmen).

c) Zeige, dass $K [X, Y] / (X^{2} + Y^{2} - 1)$ nicht faktoriell ist.

d) Bestimme die Ordnung von $X$ und von $Y - 1$ im lokalen Ring zum Punkt $(0, 1)$ .