Einheitskreis/Obere Halbebene/Rational isomorph/Reelle Koordinaten/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben  $w=a+b\mathrm{i}$.  Dann ist

$\begin{array}{cc}\psi (a+b\mathrm{i})& =\frac{(a+b\mathrm{i}+1)\mathrm{i}}{1-a-b\mathrm{i}}\\ & =\frac{a\mathrm{i}+\mathrm{i}-b}{1-a-b\mathrm{i}}\\ & =\frac{(a\mathrm{i}+\mathrm{i}-b)(1-a+b\mathrm{i})}{(1-a-b\mathrm{i})(1-a+b\mathrm{i})}\\ & =\frac{(a+1)(1-a)\mathrm{i}-b^2\mathrm{i}-b(1-a)-b(a+1)}{{(1-a)}^2+b^2}\\ & =\frac{(1-a^2-b^2)\mathrm{i}-2b}{{(1-a)}^2+b^2}.\end{array}$

In reellen Koordinaten ist daher

$\psi \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\frac{1}{-2a+1+a^2+b^2}\left(\begin{array}{c}-2b\\ 1-a^2-b^2\end{array}\right).$

Zur gelösten Aufgabe