Einheitskreis/Uhrzeigersinn/Parametrisierung/Bogenlänge/Aufgabe/Lösung

1. Eine solche Parametrisierung ist durch

   $[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}},$

   gegeben.

2. Eine solche Parametrisierung ist durch

   $[0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}\cos 2\pi t\\-\sin 2\pi t\end{pmatrix}},$

   gegeben.

3. Nach Fakt ist die Länge gleich

   ${}{\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\Vert {{\begin{pmatrix}\cos t\\-\sin t\end{pmatrix}}'}\Vert dt&=\int _{0}^{2\pi }\Vert {\begin{pmatrix}-\sin t\\-\cos t\end{pmatrix}}\Vert dt\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\sin ^{2}t+\cos ^{2}t}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=2\pi .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe