Einheitskreisgleichung/Z mod p/Lösungsanzahl/Fakt

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl.

Dann ist die Anzahl der Lösungen der Kreisgleichung ${}x^{2}+y^{2}=1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ durch

${\begin{cases}p-1,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\p+1,{\text{ falls }}p=3\mod 4\,.\end{cases}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen