Einheitskreisgleichung/Z mod p/Lösungsanzahl/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $N$ die Anzahl der Lösungen, also

$N=\mathrm{\#}\left(\{(x,y)\in {(\mathbb{Z}/(p))}^2\mid x^2+y^2=1\}\right).$

Dann ist (die Summe und die Mengen bezeihen sich auf $\mathbb{Z}/(p)$)

$\begin{array}{cc}N& =\sum _{a+b=1}\mathrm{\#}\left(\{x\mid x^2=a\}\right)\cdot \mathrm{\#}\left(\{y\mid y^2=b\}\right)\\ & =\sum _{a+b=1}(1+\left(\frac{a}{p}\right))\cdot (1+\left(\frac{b}{p}\right))\\ & =\sum _{a+b=1}(1+\left(\frac{a}{p}\right)+\left(\frac{b}{p}\right)+\left(\frac{a}{p}\right)\cdot \left(\frac{b}{p}\right))\\ & =\sum _{a+b=1}1+\sum _{a+b=1}\left(\frac{a}{p}\right)+\sum _{a+b=1}\left(\frac{b}{p}\right)+\sum _{a+b=1}\left(\frac{a}{p}\right)\cdot \left(\frac{b}{p}\right)\\ & =p+\sum _{a+b=1}\left(\frac{a}{p}\right)\cdot \left(\frac{b}{p}\right),\end{array}$

da die beiden mittleren Summanden $0$ sind, weil es in $\mathbb{Z}/(p)$ gleich viele Quadrate und Nichtquadrate gibt.

Zur bewiesenen Aussage